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\title[定性理论与分支理论初步]{《常微分方程》第八章：定性理论与分支理论初步}
\author[]{LQW}
%\institute[XX大学]{XX大学\quad 数学与统计学院\quad 数学与应用数学专业}
%\date{2025年6月}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

% 封面页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

% 目录页
%\begin{frame}{目录}
%  \tableofcontents
%\end{frame}

%\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{目录}

\begin{enumerate}
\item[8.1.]   动力系统、相空间与轨线：\\ {\color{red}理解相空间、轨线与相图的概念。}% &1&
\item[8.2.]   解的稳定性：\\ {\color{red}使用李雅普诺夫函数判断零解的稳定性。}% &1&8
\item[8.3.]   平面上的动力系统、奇点与极限环：\\ {\color{red}画出平面线性动力系统的相图，判断奇点的类型。}% &1,2&2

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.1.1. 相空间、相图、轨线}

\begin{itemize}\itemsep0.5em

\item  {\color{red}问：什么是相空间？} 

\item  答：自治的微分方程组 $$\frac{d{\vec{x}}}{dt} = \vec{f}(\vec{x})$$ 的未知函数向量 $\vec{x}$ 所在的空间 $\mathbb{R}^n$ 称为这个微分方程组的相空间。

\item  {\color{red}问：什么是轨线？}

\item  答：微分方程组的解向量 $\vec{x}(t)$ 在自变量 $t$ 变化时，在相空间中画出的曲线，称为轨线。

\item  {\color{red}问：什么是相图？}

\item  答：一些轨线放在一起，就形成一个相图。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.1.2. 平衡点、奇点、动力系统}

\begin{itemize}\itemsep0.5em

\item  {\color{red}问：什么是自治的微分方程组 $\frac{d{\vec{x}}}{dt} = \vec{f}(\vec{x})$ 的平衡点？奇点？}

\item  答：
\begin{enumerate}\itemsep0.5em
\item  当 $\vec{f}(\vec{x}_0)=\vec{0}$ 时，常值解 $\vec{x}(t)=\vec{x}_0$ 是这个微分方程组的解。
\item  这样的解称为这个微分方程组的平衡点。
\item  平衡点有稳定、渐近稳定、不稳定等分类。平衡点也称为奇点。
\end{enumerate}

%\item  问：什么是自治的微分方程组 $\frac{d{\vec{x}}}{dt} = f(\vec{x})$ 的奇点？
%
%\item  答：就是使得 $f(\vec{x})=0$ 的点 $\vec{x}=\vec{x}_0$. 也就是平衡点。

\item  {\color{red}问：什么是动力系统？}

\item  答：一个自治的微分方程组 $\frac{d{\vec{x}}}{dt} = \vec{f}(\vec{x})$ 就称为一个动力系统。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.1.3. 例子8.1.1. }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设质点在平面运动。设它在点 $(x,y)$ 的速度仅与它所在的位置坐标 $(x,y)$ 有关，关系式为
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt} &=& -y + x(x^2+y^2-1), \\
\frac{dy}{dt} &=& x + y(x^2+y^2-1). \\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
分析这个微分方程组的相图中的奇点与轨线。
}

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item  将 $\vec{f}(x,y)=\vec{0}$, 可得唯一的奇点 $(x_0,y_0)=(0,0)$. 
\item  当 $x^2+y^2=1$ 时，观察到 $x(t)=\cos t, y(t)=\sin t$ 正好是这个微分方程组的解。这个解函数的轨线是单位圆。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.1.4. 相空间（线素场、向量场）}

\begin{center}
\includegraphics [height=0.6\textheight, width=0.4\textwidth]{ode-example-8-1-1-a.png}
\hspace{0.5cm}
\includegraphics [height=0.6\textheight, width=0.4\textwidth]{ode-example-8-1-1-b.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.1.5. 增广的相空间（积分曲线族）}

\begin{center}
\includegraphics [height=0.7\textheight, width=0.7\textwidth]{ode-book-example-8-1-1.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.1.6. 动力系统的基本性质}

\begin{enumerate}

\item  积分曲线的平移不变性
\item  过相空间的每一点都唯一存在一条轨线
\item  群的性质

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.2.1. 李雅普诺夫稳定性的概念}

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问：什么是李雅普诺夫稳定性?}

\item  答：

\begin{enumerate}\itemsep0.5em
\item  考虑微分方程组 $\frac{d{\vec{x}}}{dt} = \vec{f}(t,\vec{x})$. 
\item  设函数 $\vec{f}(t,\vec{x})$ 对 $\vec{x}\in G\subseteq \mathbb{R}^n$ 和 $t\in\mathbb{R}$ 都连续，对 $\vec{x}$ 满足利普希茨条件。
\item  设 $\vec{x}=\vec{\varphi}(t), t\in [t_0,\infty)$  是一个解。
\item  如果对任意 $\varepsilon>0$, 都存在 $\delta>0$, 使得只要 $|\vec{x}_0-\vec{\varphi}(t_0)|<\delta$, 那么以 $\vec{x}(t_0)=\vec{x}_0$ 为初值条件的解 $\vec{x}(t; t_0,\vec{x}_0)$ 满足
\begin{enumerate}
\item  在 $ t\in [t_0,\infty)$ 有定义。
\item  对任意 $t\ge t_0$ 有$|\vec{x}(t; t_0,\vec{x}_0) -  \vec{\varphi}(t)|<\varepsilon$.
\end{enumerate}
\item  那么称解 $\vec{x}=\vec{\varphi}(t)$ 是李雅普诺夫稳定的。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.2.2. 李雅普诺夫渐近稳定的概念 }

\begin{itemize}\itemsep0.5em

\item  {\color{red}问：什么是李雅普诺夫渐近稳定性?}

\item  答：一个解  $\vec{x}=\vec{\varphi}(t), t\in [t_0,\infty)$ 称为是渐近稳定的，是指：

\begin{enumerate}\itemsep0.5em
\item  这个解是李雅普诺夫稳定的。
\item  又存在 $\delta_1>0$ 使得只要 $|\vec{x}_0-\vec{\varphi}(t_0)|<\delta_1$, 那么以 $\vec{x}(t_0)=\vec{x}_0$ 为初值条件的解 $\vec{x}(t; t_0,\vec{x}_0)$ 就趋于这个稳定解，即有 $$\lim\limits_{t\to+\infty} |\vec{x}(t; t_0,\vec{x}_0) -  \vec{\varphi}(t)| =0.$$
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.2.3. Aleksandr Mikhailovich Lyapunov 1857 - 1918}

\begin{center}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.25\textwidth]{lyapunov-aleksandr-image.jpg}
\hspace{0.3cm}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.25\textwidth]{lyapunov-andrews-2.jpg}
\hspace{0.3cm}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.25\textwidth]{lyapunov-stamp.jpg}
\end{center}

\url{https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lyapunov/}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.2.4. 常系数齐次线性微分方程组的零解的稳定性}

\begin{itemize}\itemsep0.5em 

\item  {\color{red} 定理8.1：考虑常系数齐次线性微分方程组 $\frac{d{\vec{x}}}{dt} = A\vec{x}$, 零解的稳定性如下：}
\begin{enumerate}\itemsep0.5em 
\item  {\color{red} 当且仅当 $A$ 的特征值的实部都为负时，零解是渐近稳定的。}
\item  {\color{red} 当且仅当 $A$ 的特征值的实部为负，或者 $A$ 的特征值的实部为零且其若尔当块都是1阶时，零解是稳定的。}
%\item  其它情况下，零解是不稳定的。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.2.5. 按线性近似判断稳定性，定理8.2-3的前提}

\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{0.3cm}

\item  设 $\vec{x}_0=\vec{0}$ 是 $\vec{f}(t,\vec{x})$ 的零点，即相空间的原点是平衡点。

\item  将 $\vec{f}(t,\vec{x})$ 展开成 $\vec{x}$ 的线性部分和高次部分，将微分方程组写成 $$\frac{d{\vec{x}}}{dt} = A(t)\vec{x} + \vec{N}(t,\vec{x}).$$ 

\item  函数 $A(t)$ 是一个 $n$ 阶的矩阵函数，对 $t\ge t_0$ 连续。

\item  函数 $\vec{N}(t,\vec{x})$ 对 $(t,\vec{x})\in [t_0,\infty)\times G$ 连续，对 $\vec{x}$ 满足利普希茨条件， 当 $t\ge t_0$ 时都有 $\vec{N}(t,\vec{0})=\vec{0}$, 以及 
$\lim\limits_{|\vec{x}|\to 0} \frac{|\vec{N}(t,\vec{x})|}{|\vec{x}|}=0$ 对 $t\ge t_0$ 一致成立。

\item  线性化方程 $\frac{d{\vec{x}}}{dt} = A(t)\vec{x}$, 相空间的原点也是平衡点。


\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.2.6. 按线性近似判断稳定性}

\begin{itemize}\itemsep0.5em 

\item  {\color{red} 定理8.2：设微分方程组 $\frac{d{\vec{x}}}{dt} = A(t)\vec{x} + \vec{N}(t,\vec{x})$ 的线性部分的系数矩阵 $A(t)$ 为常数矩阵 $A$, 且其特征值的实部都是负的，那么零解是渐近稳定的。}

\item  {\color{red} 定理8.3：若线性部分的系数矩阵 $A(t)$ 为常数矩阵 $A$, 且有特征值有正的实部，则零解是不稳定的。}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.2.7. 李雅普诺夫第二方法}

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问：什么是李雅普诺夫函数？}

\item 答：

\begin{enumerate}\itemsep0.5em 
\item  是用来判别微分方程组 $\frac{d{\vec{x}}}{dt} = \vec{f}(\vec{x})$ 的零解的稳定性的一个辅助函数 $V(\vec{x})$. 
\item  李雅普诺夫函数必须满足条件 $V(\vec{0})=0$, 以及当 $\vec{x}\neq \vec{0}$ 时都有 $V(\vec{x})>0$. 
\item  如果当 $\vec{x}\neq \vec{0}$ 时都有 $\frac{dV}{dt}<0$, 那么零解是渐近稳定的。
\item  如果当 $\vec{x}\neq \vec{0}$ 时都有 $\frac{dV}{dt}\le 0$, 那么零解是稳定的。
\item  如果当 $\vec{x}\neq \vec{0}$ 时都有 $\frac{dV}{dt}> 0$, 那么零解是不稳定的。
\item  如果当 $\vec{x}\neq \vec{0}$ 时，$\frac{dV}{dt}$ 有正有负怎么办？只好试试别的辅助函数了。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.2.8. }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问：李雅普诺夫第二方法的巧妙之处在哪里？} 

\item  答：计算 $\frac{dV}{dt}$ 的时候，无需求解微分方程。设微分方程组为
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{rcl}
\frac{dx_1}{dt} &=& f_1(x_1,x_2,\cdots, x_n), \\
%\frac{dx_2}{dt} &=& f_2(x_1,x_2,\cdots, x_n), \\
\cdots & & \cdots \\
\frac{dx_n}{dt} &=& f_n(x_1,x_2,\cdots, x_n).\\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
那么根据链式法则求导，我们有
\begin{eqnarray*}
\frac{dV}{dt} &=& \frac{\partial V}{\partial x_1} \frac{dx_1}{dt} + \cdots + \frac{\partial V}{\partial x_n} \frac{dx_n}{dt} \\
&=&  \frac{\partial V}{\partial x_1}f_1(x_1,x_2,\cdots, x_n) +\cdots + \frac{\partial V}{\partial x_n}f_n(x_1,x_2,\cdots, x_n).
\end{eqnarray*}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.2.9. }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：使用李雅普诺夫第二方法，判断零解的渐近稳定性：
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt} &=& -y + x(x^2+y^2-1), \\
\frac{dy}{dt} &=& x + y(x^2+y^2-1). \\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
} 

\item  解答：取 $V=x^2+y^2$, 则：
\begin{enumerate} 
\item  条件1成立：当 $(x,y)\neq (0,0)$ 时，有 $V(x,y)> 0$; 且有 $V(0,0)=0$.  
\item  条件2成立：当 $0<x^2+y^2<1$ 时，有 
\begin{eqnarray*}
\frac{dV}{dt} &=& \frac{\partial V}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial V}{\partial y} \frac{dy}{dt} 
= 2x[-y + x(x^2+y^2-1)] + 2y[x + y(x^2+y^2-1)] \\ 
&=& (2x^2+2y^2)(x^2+y^2-1)<0.   
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
因此零解是渐近稳定的。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.2.10. 使用李雅普诺夫函数判断零解的渐近稳定性 }

\begin{center}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.7\textwidth]{ode-book-lyapunov-function.png}
\end{center}

\begin{itemize}
\item  左图：李雅普诺夫函数 $V(x,y)$ 的图像。
\item  右图：因为 $\frac{dV(x(t),y(t))}{dt}<0$, 所以当 $t\to\infty$ 时，有 $(x(t),y(t))\to (0,0)$. 
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.3.1. 平面上的动力系统，初等奇点}

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问：什么是平面上的动力系统？} 

\item  答：
\begin{enumerate}
\item  平面动力系统是指二阶微分方程
\begin{eqnarray}
\left\{ \begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt} &=& f(x,y), \\
\frac{dy}{dt} &=& g(x,y).\\
\end{array}\right.
\label{eq8-3-1}
\end{eqnarray}

\item  消去自变量 $t$, 得到微分方程 
\begin{eqnarray}
\frac{dx}{dy} = \frac{f(x,y)}{g(x,y)}.
\label{eq8-3-2}
\end{eqnarray}

\item  微分方程 (\ref{eq8-3-2}) 的积分曲线就是平面动力系统 (\ref{eq8-3-1}) 的轨线。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.3.2. 初等奇点 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问：求解平面线性系统 
$$\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = A\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix},\,\,\,\, A=\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}.$$ }

\item  答：
\begin{enumerate}
\item  考虑变量代换 $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = T \begin{bmatrix} \xi \\ \eta \end{bmatrix}, $
将问题转化为求解另一个平面动力系统
$$\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} \xi \\ \eta \end{bmatrix} = T^{-1}AT\begin{bmatrix} \xi \\ \eta \end{bmatrix}. $$

\item  寻找可逆矩阵 $T$ 使得 $T^{-1}AT$ 为对角阵。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.3.3. 实数二阶矩阵的若尔当标准形}

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问：在实数范围内，二阶矩阵的相似标准形是什么？} 

\item  答：设 $A=\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}$ 是一个二阶实数矩阵，则存在可逆的实数矩阵 $T$ 使得 $T^{-1}AT$ 为下述三种矩阵之一：

\begin{eqnarray*}
\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu  \end{bmatrix}, \hspace{0.3cm}
\begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda  \end{bmatrix}, \hspace{0.3cm}
\begin{bmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha  \end{bmatrix}.
\end{eqnarray*}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.3.4. 初等奇点的分类}

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问：平面线性动力系统 
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix}  a&b \\ c&d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}
的零解，根据系数矩阵的不同，有哪些不同的相图？}

\item  答：
\begin{enumerate}
\item  星型结点（稳定、不稳定）
\item  两向结点（稳定、不稳定）
\item  鞍点（不稳定）
\item  单向结点（稳定、不稳定）
\item  焦点（稳定、不稳定）
\item  中心（稳定）
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.3.5. 星型结点（稳定、不稳定） }

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix}  -1&0 \\ 0&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \hspace{1cm}
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix}  1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}

\begin{center}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.34\textwidth]{ode-example-8-3-tu-8-6.png}
\hspace{0.5cm}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.34\textwidth]{ode-example-8-3-tu-8-7.png}
\end{center}


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{8.3.6. 星型结点（稳定、不稳定）代码1 }

\begin{python}
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

m=5
x=np.linspace(-m,m,15)
y=np.linspace(-m,m,15)
[X,Y] = np.meshgrid(x,y)

#A=[-1,0,0,-1] #星形结点、稳定
A=[1,0,0,1] #星形结点、不稳定
[a,b,c,d]=A

U=a*X+b*Y
V=c*X+d*Y
C=(X**2+Y**2)/np.max(X**2+Y**2)
\end{python}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{8.3.7. 星型结点（稳定、不稳定）代码2 }

\begin{python}
fig, ax = plt.subplots()
ax.quiver(X,Y,U,V,C)
ax.set_xticks([])
ax.set_yticks([])
ax.set_aspect('equal')
       
t=np.linspace(-3,3,21)
C1=[-4,-2,-1,0,2,5]
C2=[-4,-2,-1,0,2,5]
for k1 in range(len(C1)):
    for k2 in range(len(C2)):
        ax.plot(C1[k1]*np.exp(a*t),C2[k2]*np.exp(d*t),'-')
ax.set_xlim(-m,m)
ax.set_ylim(-m,m)
\end{python}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.3.8. 两向结点（稳定、不稳定） }

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix}  -1&0 \\ 0&-2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \hspace{1cm}
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix}  1&0 \\ 0&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}

\begin{center}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.34\textwidth]{ode-example-8-3-tu-8-8.png}
\hspace{0.5cm}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.34\textwidth]{ode-example-8-3-tu-8-9.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.3.9. 鞍点（不稳定） }

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix}  -1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \hspace{1cm}
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix}  1&0 \\ 0&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}

\begin{center}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.34\textwidth]{ode-example-8-3-tu-8-10-1.png}
\hspace{0.5cm}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.34\textwidth]{ode-example-8-3-tu-8-10-2.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.3.10. 单向结点（稳定、不稳定） }

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix}  -1&0 \\ 1&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \hspace{1cm}
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix}  1&0 \\ 1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}

\begin{center}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.34\textwidth]{ode-example-8-3-tu-8-11.png}
\hspace{0.5cm}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.34\textwidth]{ode-example-8-3-tu-8-12.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.3.11. 焦点（稳定、不稳定） }

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix}  -1&-2 \\ 2&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \hspace{1cm}
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix}  1&-2 \\ 2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}

\begin{center}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.34\textwidth]{ode-example-8-3-tu-8-13.png}
\hspace{0.5cm}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.34\textwidth]{ode-example-8-3-tu-8-15.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.3.12. 中心（稳定） }

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}  0&-2 \\ 2&0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}

\begin{center}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.35\textwidth]{ode-example-8-3-tu-8-14.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{8.3.13. 焦点与中心的部分代码 }

\begin{python}
m=10
A=[-1,-2,2,-1] #稳定焦点
#A=[1,-2,2,1] #不稳定焦点
#A=[0,-2,2,0] #中心
[a,b,c,d]=A

C=[0.1,0.3,0.5,1,2,5,10,15,30] #焦点
#C=[0.5,1,2,3,5,7] #中心
theta = np.linspace(-np.pi*4,np.pi*4,101)
for k in range(len(C)):
    r=C[k]*np.exp(a/c*theta)
    xg=r*np.cos(theta)
    yg=r*np.sin(theta)
    ax.plot(xg,yg,'-')
ax.set_xlim(-m,m)
ax.set_ylim(-m,m)
\end{python}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.3.14. 例子8.3.1. }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：作出平面动力系统在原点附近的相图：
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt} &=& 2x+3y, \\
\frac{dy}{dt} &=& 2x-3y.\\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
}

\item  答：原点是鞍点。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.3.15. 例子8.3.1的解答}

\begin{enumerate}
\item  系数矩阵 $A=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}$. 
\item  作变量代换 $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = P\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}$, 微分方程化为 
$\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = P^{-1}AP\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}$.
\item  求得 $P=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ 时，$P^{-1}AP=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -4 \end{bmatrix}$ 为对角阵。
\item  从 $u'(t)=3t$ 得 $u=C_1e^{3t}$, 从 $v'(t)=-4t$ 得 $v=C_2e^{-4t}$. 
\item  原微分方程组的通解为
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{rcl}
x &=& 3C_1e^{3t}+C_2e^{-4t}, \\
y &=& C_1e^{3t}-2C_2e^{-4t}. \\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.3.16. 例子8.3.1的图像 }

\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt} &=& 2x+3y, \\
\frac{dy}{dt} &=& 2x-3y.\\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

\begin{center}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.34\textwidth]{ode-example-8-3-1-a.png}
\hspace{0.5cm}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.34\textwidth]{ode-example-8-3-1-b.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{8.3.17. 例子8.3.1的代码（左图） }

{\footnotesize
\begin{python}
import numpy as np; import matplotlib.pyplot as plt
def myfun(C1,C2,t):
    x=3*C1*np.exp(3*t)+C2*np.exp(-4*t)
    y=C1*np.exp(3*t)-2*C2*np.exp(-4*t)
    return x,y

m=20; a=0.3; N=101; t=np.linspace(-a,a,N); C1=[-4,-2,0,2,4]; C2=C1
fig=plt.figure(); ax=fig.add_subplot(111)
for k in range(len(C1)):
    for m in range(len(C2)):
        x,y=myfun(C1[k],C2[m],t)
        ax.plot(x,y,'b-')
ax.set_aspect('equal'); ax.set_xticks([]); ax.set_yticks([])
fig.savefig('ode-example-8-3-1.png')
\end{python}
}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.3.18. 例子8.3.2. }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：作出平面动力系统在原点附近的相图：
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt} &=& 3x, \\
\frac{dy}{dt} &=& 2x+y.\\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
}

\item  答：原点是不稳定的两向结点。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.3.19. 例子8.3.2的解答}

\begin{enumerate}
\item  从第一个方程可以求得 $x=C_1e^{3t}$, 其中 $C_1$ 是任意常数。
\item  代入第二个方程，可得关于 $y$ 的一个线性常微分方程 $\frac{dy}{dt} = y + C_1e^{3t}. $
\item  移项并乘以积分因子可得 $e^{-t}\left(\frac{dy}{dt}-y\right) = e^{-t} C_1e^{3t}.$
\item  两边积分可得 $e^{-t}y=\frac{C_1}{2}e^{2t} + C_2$,得到 $y=\frac{C_1}{2}e^{3t} + C_2e^t$. 
\item  原微分方程组的通解为
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{rcl}
x &=& C_1e^{3t}, \\
y &=& \frac{C_1}{2}e^{3t} + C_2e^t. \\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

\item  取 $C_1=0, C_2=1$ 可得 $x=0, y=e^t$.  因此 $y$-轴正半轴是一条直轨线。
\item  取 $C_1=2, C_2=0$ 可得 $x=2e^{3t}, y=e^{3t}$ 可得 $x=2y$.  因此 $x=2y$ 在第一象限的部分也是一条直轨线。 

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{8.3.20. 例子8.3.2的图像 }

\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt} &=& 3x, \\
\frac{dy}{dt} &=& 2x+y.\\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

\begin{center}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.34\textwidth]{ode-example-8-3-2-a.png}
\hspace{0.5cm}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.34\textwidth]{ode-example-8-3-2-b.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{8.3.21. 例子8.3.2的代码（左图） }

{\footnotesize 
\begin{python}
import numpy as np; import matplotlib.pyplot as plt
def myfun(C1,C2,t):
    x=C1*np.exp(3*t)
    y=C1*np.exp(3*t)/2+C2*np.exp(t)
    return x,y

a=0.3; N=101; t=np.linspace(-8*a,a,N); C1=[-8,-4,0,4,8]; C2=[-8,-4,0,4,8]
fig=plt.figure(); ax=fig.add_subplot(111)
for k in range(len(C1)):
    for m in range(len(C2)):
        x,y=myfun(C1[k],C2[m],t)
        ax.plot(x,y,'b-')
ax.set_xlim([-10,10]); ax.set_ylim([-10,10])
ax.set_xticks([]); ax.set_yticks([]); ax.set_aspect('equal')
fig.savefig('ode-example-8-3-2.png')
\end{python}
}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题8-2\#2,3 }

\begin{enumerate}
\item[2.]  设 $x$ 和 $t$ 都是标量，求微分方程 $\frac{dx}{dt}=a(t)x$ 的零解为稳定或渐近稳定的充分必要条件。 
\item[3.]  对于极坐标下的方程 
$$\frac{d\theta}{dt} =1, \,\, \frac{dr}{dt} = \left\{\begin{array}{ll} r^2\sin(1/r),& r\neq 0,\\ 0, & r=0, \end{array}\right. $$ 
作出原点附近的相图，并研究平衡点 $r=0$ 的稳定性。
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题8-2\#7,8 }

\begin{enumerate}
\item[7.]  （选做）研究二维微分方程组的两个平衡点的稳定性：
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl} 
dx/dt &=& y, \\ 
dy/dt &=& -1+x^2. 
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*}
\item[8.]  讨论下列方程的零解的稳定性：
\begin{enumerate}
\item[8.1.]  $\left\{\begin{array}{rcl} dx/dt &=& -y-xy^2, \\ dy/dt &=& x-x^4y. \end{array}\right. $
\item[8.2.]  $\left\{\begin{array}{rcl} dx/dt &=& -y^3-x^5, \\ dy/dt &=& x^3-y^5. \end{array}\right. $
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题8-3\#2 }

\begin{enumerate}
\item[2.]  判断下列方程的奇点 $(0,0)$ 的类型，并作出该奇点附近的相图：
\begin{enumerate}
\item[2.1.]  $dx/dt = 4y-x, \,\, dy/dt = -9x+y$. 
\item[2.2.]  $dx/dt = 2x+y+xy^2, \,\, dy/dt = x+2y+x^2+y^2$. 
\item[2.3.]  $dx/dt = 2x+4y+\sin y, \,\, dy/dt = x+y+e^y-1$. 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
